# Library Coq.Numbers.Natural.SpecViaZ.NSig

Require Import ZArith Znumtheory.

Open Scope Z_scope.

# NSig

Interface of a rich structure about natural numbers. Specifications are written via translation to Z.

Module Type NType.

Parameter t : Type.

Parameter to_Z : t -> Z.
Notation "[ x ]" := (to_Z x).
Parameter spec_pos: forall x, 0 <= [x].

Parameter of_N : N -> t.
Parameter spec_of_N: forall x, to_Z (of_N x) = Z_of_N x.
Definition to_N n := Zabs_N (to_Z n).

Definition eq n m := ([n] = [m]).

Parameter zero : t.
Parameter one : t.

Parameter spec_0: [zero] = 0.
Parameter spec_1: [one] = 1.

Parameter compare : t -> t -> comparison.

Parameter spec_compare: forall x y,
match compare x y with
| Eq => [x] = [y]
| Lt => [x] < [y]
| Gt => [x] > [y]
end.

Definition lt n m := compare n m = Lt.
Definition le n m := compare n m <> Gt.
Definition min n m := match compare n m with Gt => m | _ => n end.
Definition max n m := match compare n m with Lt => m | _ => n end.

Parameter eq_bool : t -> t -> bool.

Parameter spec_eq_bool: forall x y,
if eq_bool x y then [x] = [y] else [x] <> [y].

Parameter succ : t -> t.

Parameter spec_succ: forall n, [succ n] = [n] + 1.

Parameter add : t -> t -> t.

Parameter spec_add: forall x y, [add x y] = [x] + [y].

Parameter pred : t -> t.

Parameter spec_pred: forall x, 0 < [x] -> [pred x] = [x] - 1.
Parameter spec_pred0: forall x, [x] = 0 -> [pred x] = 0.

Parameter sub : t -> t -> t.

Parameter spec_sub: forall x y, [y] <= [x] -> [sub x y] = [x] - [y].
Parameter spec_sub0: forall x y, [x] < [y]-> [sub x y] = 0.

Parameter mul : t -> t -> t.

Parameter spec_mul: forall x y, [mul x y] = [x] * [y].

Parameter square : t -> t.

Parameter spec_square: forall x, [square x] = [x] * [x].

Parameter power_pos : t -> positive -> t.

Parameter spec_power_pos: forall x n, [power_pos x n] = [x] ^ Zpos n.

Parameter sqrt : t -> t.

Parameter spec_sqrt: forall x, [sqrt x] ^ 2 <= [x] < ([sqrt x] + 1) ^ 2.

Parameter div_eucl : t -> t -> t * t.

Parameter spec_div_eucl: forall x y,
0 < [y] ->
let (q,r) := div_eucl x y in ([q], [r]) = Zdiv_eucl [x] [y].

Parameter div : t -> t -> t.

Parameter spec_div: forall x y, 0 < [y] -> [div x y] = [x] / [y].

Parameter modulo : t -> t -> t.

Parameter spec_modulo:
forall x y, 0 < [y] -> [modulo x y] = [x] mod [y].

Parameter gcd : t -> t -> t.

Parameter spec_gcd: forall a b, [gcd a b] = Zgcd (to_Z a) (to_Z b).

End NType.